2 heures de cours de MATHS en prépa

Introduction aux séries mathématiques

Définition et intuition des séries

L'objet de ce cours va être de répondre à deux questions : à quoi correspond très précisément une somme infinie de termes, et combien ça fait si j'ajoute une infinité de fois des nombres.

• Le cours commence par une interrogation fondamentale sur la nature des sommes infinies. L'enseignant souligne la nécessité de donner un sens mathématique précis à ces objets, car l'intuition peut être trompeuse lorsqu'on manipule l'infini. Il présente deux cas contrastés : la somme des entiers naturels qui semble diverger vers l'infini, et la somme des puissances de 1/2 qui converge vers 2, illustrant ainsi que l'addition d'une infinité de termes positifs ne mène pas nécessairement à l'infini.
• L'exemple de la durée d'un cours de mathématiques sert à contrer l'intuition immédiate. Bien que le cours soit composé d'une infinité d'instants (la moitié du temps, puis la moitié du temps restant, etc.), sa durée totale reste finie (2 heures). Cette analogie permet de visualiser comment une somme infinie peut converger vers une valeur finie, préparant le terrain pour une définition rigoureuse.
• L'enseignant met en garde contre les manipulations naïves avec les pointillés, illustrant le danger par un paradoxe où l'on pourrait "prouver" que 1 = 0. Cette introduction souligne la nécessité d'une construction mathématique solide pour éviter de telles absurdités et établit le cadre dans lequel les séries seront étudiées.

Construction mathématique des séries

Pour définir des séries, il faut d'abord considérer une suite... et construire une nouvelle suite composée des sommes cumulées.

• La définition formelle des séries est introduite à partir du concept de suite. Étant donné une suite (u_n), on construit la suite des sommes partielles (S_n) où S_n = u_0 + u_1 + ... + u_n. La série de terme général u_n est précisément cette suite (S_n) des sommes cumulées. Cette construction replace l'étude des séries dans le cadre plus familier des suites, permettant d'appliquer les résultats connus sur la convergence des suites.
• Le vocabulaire spécifique est soigneusement défini : on distingue la suite (u_n), la suite des sommes partielles (S_n), la série (qui est l'objet d'étude), et la somme de la série (qui est la limite de S_n si elle existe). Cette précision terminologique est cruciale pour éviter les confusions entre la convergence de la suite (u_n) et celle de la série associée.
• Des exemples simples sont traités, comme la suite constante u_n = 1, où S_n = n+1, et la suite u_n = 1/(n(n+1)), où un télescopage permet de calculer explicitement S_n. Ces exemples montrent que dans certains cas favorables, on peut déterminer directement le comportement de la série, mais ces situations sont rares et motivent le développement de critères plus généraux.

Convergence et premières propriétés

On dit que la série converge si la suite des sommes partielles converge.

• La convergence d'une série est définie comme la convergence de la suite de ses sommes partielles. Si (S_n) admet une limite finie ℓ, on dit que la série converge et que sa somme est ℓ. Dans le cas contraire, la série diverge. Cette définition relie directement l'étude des séries à celle des suites, permettant d'utiliser tout l'arsenal théorique développé précédemment.
• Un résultat fondamental est établi : si une série converge, alors son terme général tend nécessairement vers 0. La démonstration utilise la relation u_n = S_n - S_{n-1} et le fait que si (S_n) converge, alors (S_n) et (S_{n-1}) tendent vers la même limite. Ce critère nécessaire de convergence sera extrêmement utile pour montrer rapidement la divergence de certaines séries.
• L'enseignant insiste sur le fait que la réciproque est fausse : une série dont le terme général tend vers 0 peut très bien diverger. Le contre-exemple de la série harmonique Σ1/n est annoncé, préparant le terrain pour une étude plus approfondie. Cette nuance est cruciale et constitue une source fréquente d'erreurs chez les étudiants débutants.

Séries à termes positifs et théorème de convergence

Si une suite est positive, alors la suite des sommes partielles associée est croissante.

• Pour les séries à termes positifs (u_n ≥ 0), on établit que la suite (S_n) est croissante. Cette propriété simplifie considérablement l'étude de la convergence, car une suite croissante ne peut que converger (si elle est majorée) ou diverger vers +∞ (si elle n'est pas majorée). Cette dichotomie réduit la question de la convergence à celle de la majoration.
• Le théorème fondamental pour les séries à termes positifs est énoncé : une série à termes positifs converge si et seulement si la suite de ses sommes partielles est majorée. Ce résultat découle directement du théorème de la limite monotone appliqué à (S_n). Il fournit une méthode puissante pour établir la convergence en exhibant un majorant.
• L'enseignant souligne l'importance de ne pas confondre les hypothèses portant sur le terme général u_n et celles portant sur la suite des sommes partielles S_n. Cette distinction est essentielle pour appliquer correctement les différents critères de convergence qui seront développés par la suite.

La série harmonique et ses paradoxes

Il existe des séries dont le terme général tend vers zéro mais qui divergent.

• La série harmonique Σ1/n sert d'exemple fondamental pour illustrer qu'une série peut diverger même si son terme général tend vers 0. L'enseignant guide les étudiants dans la démonstration de cette divergence en utilisant une inégalité logarithmique : ln(1+x) ≤ x pour x > -1.
• La preuve technique détaillée montre comment minorer la somme partielle S_n par ln(n+1). Comme ln(n+1) → +∞, on en déduit que S_n → +∞. Cette démonstration est importante car elle fournit une méthode générale pour établir la divergence de séries à termes positifs par comparaison avec une série divergente.
• L'aspect contre-intuitif de ce résultat est souligné : bien que les termes 1/n deviennent arbitrairement petits, leur accumulation sur une infinité de termes produit une somme arbitrairement grande. Ce paradoxe illustre la subtilité des phénomènes infinis et la nécessité de preuves rigoureuses plutôt que de se fier à l'intuition.

Critère pratique de divergence et applications

Si la limite du terme général ne fait pas zéro, la série ne converge pas.

• Le critère nécessaire de convergence (terme général → 0) est reformulé sous forme contraposée pour en faire un outil pratique de divergence : si le terme général d'une série ne tend pas vers 0, alors la série diverge. Cette formulation est souvent plus utile en pratique pour écarter rapidement les séries manifestement divergentes.
• Des exemples concrets sont traités, comme la série de terme général e^{-1/n}, où l'on observe que e^{-1/n} → 1 ≠ 0, donc la série diverge. Ces applications immédiates montrent l'efficacité du critère pour résoudre rapidement certaines questions de convergence.
• L'enseignant met en garde contre la tentation d'appliquer la réciproque (qui serait : si le terme général tend vers 0, alors la série converge), en rappelant le contre-exemple de la série harmonique. Cette mise en garde est essentielle pour éviter une erreur courante dans l'étude des séries.

La série de Riemann convergente

La somme des 1/n² converge, ce qui n'est pas intuitif non plus.

• La série Σ1/n² est présentée comme un exemple important de série convergente, contrastant avec la série harmonique divergente. L'enseignant guide les étudiants dans la démonstration de sa convergence en utilisant une comparaison astucieuse.
• La preuve détaillée établit que 1/n² ≤ 1/(n(n-1)) pour n ≥ 2, et que la somme télescopique de 1/(n(n-1)) se simplifie pour donner une majoration de S_n par 2 - 1/n. Cette majoration, combinée avec la croissance de (S_n), permet de conclure à la convergence.
• Un résultat culturel est mentionné : la somme de la série Σ1/n² est égale à π²/6, un résultat célèbre d'Euler qui relie analyse et géométrie. Bien que cette valeur exacte ne soit pas démontrable avec les outils actuels, sa mention enrichit la perspective historique et culturelle du sujet.

Séries géométriques et applications

La série géométrique converge si et seulement si la valeur absolue de la raison est strictement inférieure à 1.

• Les séries géométriques Σq^n sont étudiées en détail. Le résultat principal établit une condition nécessaire et suffisante de convergence (|q| < 1) et donne la valeur exacte de la somme (1/(1-q)) dans le cas convergent. La preuve utilise l'expression explicite de la somme partielle S_n = (1-q^{n+1})/(1-q) et le passage à la limite.
• La réciproque est démontrée par contraposée : si |q| ≥ 1, alors le terme général ne tend pas vers 0 (sauf dans le cas limite q = 1 où il tend vers 1), donc la série diverge. Ce traitement complet des séries géométriques en fait un outil de référence pour l'étude de séries plus complexes.
• Une application concrète à la valorisation d'entreprise est présentée : modéliser les flux financiers futurs actualisés comme une série géométrique permet d'estimer la valeur présente d'une entreprise. Cette application montre l'utilité pratique des séries géométriques en économie et finance.

Séries géométriques dérivées et techniques de calcul

Pour calculer la série de termes général nq^{n-1}, on utilise une astuce de dérivation.

• Les séries géométriques dérivées Σnq^{n-1} sont introduites comme généralisation des séries géométriques classiques. La même condition de convergence (|q| < 1) s'applique, et la somme vaut 1/(1-q)². La démonstration utilise une approche fonctionnelle en considérant la somme partielle comme une fonction de q et en la dérivant de deux manières différentes.
• La technique de dérivation terme à terme est justifiée dans le cadre des polynômes, et le passage à la limite utilise les croissances comparées pour montrer que les termes frontières tendent vers 0. Cette approche sophistiquée montre comment les méthodes d'analyse fonctionnelle peuvent être appliquées à l'étude des séries.
• Des exemples de calculs concrets sont traités, mettant en œuvre les techniques de décomposition, de changement d'indice et d'identification avec les séries de référence. L'accent est mis sur la rigueur dans les manipulations algébriques pour éviter les erreurs d'indexation ou de facteur.

Linéarité et pratique du calcul des séries

Les manipulations qu'on peut faire sur des séries convergentes sont les mêmes que pour les sommes finies.

• La propriété de linéarité pour les séries convergentes est établie : si Σu_n et Σv_n convergent, alors pour tous réels λ, μ, la série Σ(λu_n + μv_n) converge et sa somme est λΣu_n + μΣv_n. Cette propriété essentielle permet de décomposer des séries complexes en combinaisons linéaires de séries plus simples.
• L'importance de l'hypothèse de convergence est soulignée : sans elle, les manipulations algébriques peuvent conduire à des absurdités, comme le paradoxe 1 = 0 présenté en introduction. Cette mise en garde rappelle la nécessité de vérifier la convergence avant d'effectuer des opérations sur les séries.
• La méthodologie générale pour étudier une série est résumée : commencer par examiner le terme général, utiliser les critères de convergence appropriés, et pour le calcul effectif de la somme, travailler sur les sommes partielles avant de passer à la limite. Cette approche systématique fournit un cadre pour aborder les exercices et problèmes.