Analysis of Constrained Willmore Surfaces%0A Yann Bernard.pdf

Analyse de la régularité des immersions de Willmore contraintes

Introduction et cadre général

Nous étudions la régularité des immersions de Willmore contraintes dans R^m≥3 localement autour des points 'réguliers' et autour des points de branchement, où la nature immersive de l'application dégénère.

• Ce travail de Yann Bernard, publié en 2012, se concentre sur l'analyse de la régularité locale des immersions de Willmore contraintes. Ces surfaces sont des points critiques de l'énergie de Willmore, W(Φ) = ∫_Σ |H|² dvol_g, sous des variations infinitésimales, lisses, à support compact et conformes. L'équation d'Euler-Lagrange associée, dite équation de Willmore contrainte, intègre un multiplicateur de Lagrange q, un tenseur symétrique sans trace et transverse par rapport à la métrique induite g. Cette classe généralise les surfaces de Willmore (où q ≡ 0) et inclut notamment les surfaces à courbure moyenne parallèle.
• L'étude est menée sans restriction sur la codimension et permet la présence de singularités ponctuelles appelées points de branchement. Un point de branchement est un point où l'immersion Φ dégénère dans le sens où sa différentielle dΦ s'annule, bien que l'application elle-même reste bien définie. L'objectif principal est de développer des développements asymptotiques locaux pour l'immersion et ses dérivées, et d'établir des conditions explicites de "supprimabilité" garantissant que l'immersion est lisse à travers le point singulier.

Reformulation analytique du problème

Notre première tâche dans cet article sera de montrer que dans une reparamétrisation conforme appropriée, l'équation de Willmore contrainte peut également être écrite sous forme divergence par rapport à des coordonnées locales plates.

• L'auteur commence par considérer une immersion conforme Φ : D² → R^m qui est régulière sur le disque épointé D² \ {0} et dégénère à l'origine. En utilisant des résultats de Huber et Müller-Šverák, on peut construire une telle paramétrisation conforme où la métrique induite s'écrit g_ij = e^{2λ} δ_ij. Le comportement asymptotique près de l'origine est caractérisé par un entier θ₀ ≥ 1 tel que |Φ(x)| ≃ |x|^{θ₀} et |∇Φ(x)| ≃ |x|^{θ₀−1}. L'entier θ₀ est la densité du courant Φ∗[D²] au point image 0.
• L'équation de Willmore contrainte est réécrite dans ce cadre conforme en utilisant des coordonnées complexes (z, \bar{z}). En introduisant la fonction anti-holomorphe f = q₁₁ + i q₁₂ liée au multiplicateur de Lagrange q, l'équation prend la forme conservative cruciale : ℜ[ ∂_z ( ∂_{\bar{z}} H - 3 π_n ∂_{\bar{z}} H + i ⋆(∂_{\bar{z}} n ∧ H) - e^{-λ} f e_z ) ] = 0. Cette reformulation en forme divergence est le point de départ de l'analyse approfondie de la régularité.

Résultats préliminaires de régularité et estimations

La fonction δ(r) := r sup_{|x|=r} |∇n(x)| satisfait lim_{r↘0} δ(r) = 0 et ∫_0^1 δ²(r) dr/r < ∞.

• Un résultat technique clé (Lemme II.1) établit le comportement contrôlé de la norme du gradient de l'application de Gauss n près de la singularité. Ceci est démontré en utilisant une estimation d'ε-régularité adaptée (théorème de Kuwert-Schätzle) et le comportement asymptotique de la métrique conforme. Cette estimation permet de contrôler les termes non linéaires dans les équations et est fondamentale pour les développements ultérieurs.
• En utilisant cette estimation et l'équation reformulée, l'auteur démontre que la fonction L, définie à partir d'un potentiel pour un champ de vecteurs conservatif, satisfait |x|^{θ₀} ∇L ∈ L²(D²). Via une inégalité de Hardy-Sobolev, on en déduit que L · ∇Φ et L ∧ ∇Φ sont dans L². Ces propriétés d'intégrabilité permettent de définir des fonctions S et R dans W¹,²(D²) qui satisfont un système elliptique uniforme, appelé système conservatif conforme de Willmore, indépendant de la codimension.

Développements asymptotiques locaux et résidus

L'immersion a localement autour de l'origine le développement asymptotique Φ = ℜ( A z^{θ₀} + Σ_{j=1}^{θ₀−a} B_j z^{θ₀+j} + C_{θ₀−a} |z|^{2θ₀} z^{-a} ) - C |z|^{2θ₀} (log |z|/θ₀ − 1) + ξ.

• Le comportement local de l'immersion et de sa courbure moyenne est caractérisé par des résidus. Le premier résidu β₀ est défini comme une intégrale de circulation sur un petit cercle autour de l'origine à partir de la forme divergence de l'équation. Le résidu modifié γ₀ combine β₀ et le comportement du multiplicateur f, supposé avoir un développement f = a_μ \bar{z}^μ + f₀ avec μ ≥ -1.
• Un second résidu γ est défini à partir du comportement logarithmique des fonctions méromorphes apparaissant dans le développement de la courbure moyenne H. L'ordre 'a' du pôle de ces fonctions, qui satisfait max{0, θ₀ − μ − 2} ≤ a ≤ θ₀ − 1, contrôle la régularité. Le Théorème I.1 donne le développement asymptotique complet de Φ et H en fonction de a, θ₀, des vecteurs constants A, B_j, C, C_{θ₀−a} et d'un reste ξ très régulier.

Conditions de supprimabilité et régularité améliorée

Sous les hypothèses du Théorème I.1, si le résidu modifié γ₀ et si le second résidu γ s'annulent tous deux, alors [...] l'immersion est lisse à travers le point de branchement.

• Le Théorème I.2 énonce les conditions pour une régularité optimale. Si les deux résidus γ₀ et γ sont nuls, deux cas se présentent. Si θ₀ < μ + 2 (le multiplicateur f décroît suffisamment vite), alors l'immersion Φ est C^∞ à travers la singularité. Si θ₀ = μ + 2, la régularité est légèrement moins bonne : Φ ∈ C^{θ₀+1,α} et n ∈ C^{θ₀,α} pour tout α < 1, avec des propriétés d'intégrabilité précises dans les espaces de Lorentz-Sobolev W^{k,(2,∞)}.
• Ces résultats s'appliquent aux points réguliers (θ₀ = 1). Le Corollaire I.1 en découle : en un point régulier, si f est régulier (μ ≥ 0), Φ est lisse ; si f est singulier (μ = -1), alors Φ ∈ C^{2,α} pour tout α < 1. Cela démontre que la singularité du multiplicateur peut limiter la régularité, même en l'absence de point de branchement.

Application aux sous-classes importantes

Les surfaces à courbure moyenne parallèle [...] sont lisses à travers leur point de branchement intérieur.

• Le papier traite deux sous-classes majeures. Les surfaces de Willmore (f ≡ 0) : les résultats de [BR3] sont retrouvés. Une immersion de Willmore est lisse à travers un point régulier. Pour un point de branchement, elle est lisse si les résidus β₀ et γ s'annulent.
• Les surfaces à courbure moyenne parallèle (vérifiant π_n dH ≡ 0) : elles sont contraintes de Willmore avec un multiplicateur f = 2e^{2λ} H · H*₀ déterminé par la géométrie. L'auteur montre (Lemme A.1) que ce f est bien anti-holomorphe. Pour ces surfaces, on démontre que les résidus associés s'annulent toujours et que μ ≥ θ₀ − 1. Le Théorème I.2 implique alors qu'elles sont toujours lisses (C^∞) à travers un point de branchement, généralisant un résultat connu pour les surfaces à courbure moyenne constante en codimension 1.

Preuves techniques et outils analytiques

L'identité (II.19) [...] peut ainsi être étendue à l'ensemble de D². [...] un résultat classique de Laurent Schwartz énonce que les seules distributions supportées sur {0} sont des combinaisons linéaires de dérivées de la masse de Dirac.

• La preuve des théorèmes principaux repose sur une analyse fine du système conservatif conforme de Willmore (II.20) pour les fonctions S et R. En exploitant la petitesse de la norme W¹,² de l'application de Gauss n (via le choix de ε₀), on applique un résultat de régularité (Proposition II.1) pour obtenir que ∇S et ∇R sont dans L^p pour un p > 2. Ceci permet de passer d'un cadre critique à un cadre sous-critique.
• Des propositions techniques (A.1 et A.2) sont utilisées pour analyser les solutions d'équations de Poisson avec des poids de type |x|^b. Elles permettent d'extraire la partie polynomiale (ou méromorphe) du développement et de contrôler précisément la régularité du reste. Le Lemme A.2 fournit un résultat d'intégrabilité pondérée crucial pour contrôler ∇u lorsque le terme source a une certaine décroissance.

Questions ouvertes et perspectives

La première question ouverte posée par nos résultats est celle de l'optimalité. [...] La deuxième, et analytiquement plus difficile, question ouverte concerne l'étude du comportement local d'une immersion de Willmore contrainte avec une fonction multiplicateur dégénérant à l'origine avec un ordre strictement supérieur à un.

• L'optimalité des conditions de régularité n'est pas claire dans le cas général des immersions contraintes de Willmore, contrairement au cas de Willmore pur où des contre-exemples existent. La difficulté provient du manque d'exemples explicites pertinents avec un multiplicateur f non nul.
• Un défi analytique majeur est l'étude du cas où la fonction multiplicateur f n'est pas intégrable à l'origine (i.e., a un pôle d'ordre > 1). L'auteur conjecture que si f a un pôle d'ordre > 3, alors l'équation de Willmore contrainte ne peut avoir de solution dans W^{2,2}. Le cas d'un pôle d'ordre exactement 2 semble particulièrement problématique. Dans ces situations, le système conservatif (II.20) ne peut être étendu à travers l'origine, empêchant la réduction à un problème sous-critique.