Analysis of Constrained Willmore Surfaces%0A Yann Bernard

Analyse de la régularité des immersions de Willmore contraintes

Introduction et cadre général

Nous étudions la régularité des immersions de Willmore contraintes dans R^m≥3 localement autour des points 'réguliers' et autour des points de branchement, où la nature immersive de l'application dégénère.

• Ce travail de Yann Bernard, publié en 2012, se concentre sur l'analyse de la régularité locale des immersions de Willmore contraintes. Ces surfaces sont des points critiques de l'énergie de Willmore, W(Φ) = ∫_Σ |H|² dvol_g, sous des variations infinitésimales, lisses, à support compact et conformes. L'équation d'Euler-Lagrange associée, dite équation de Willmore contrainte, intègre un multiplicateur de Lagrange q, un tenseur symétrique sans trace et transverse par rapport à la métrique induite g. Cette classe généralise les surfaces de Willmore (où q ≡ 0) et inclut notamment les surfaces à courbure moyenne parallèle.
• L'étude est menée sans restriction sur la codimension et permet la présence de singularités ponctuelles appelées points de branchement. Un point de branchement est un point où l'immersion Φ dégénère dans le sens où sa différentielle dΦ s'annule, bien que l'application elle-même reste bien définie. L'objectif principal est de développer des développements asymptotiques locaux pour l'immersion et ses dérivées, et d'établir des conditions explicites de "supprimabilité" garantissant que l'immersion est lisse à travers le point singulier.

Reformulation analytique du problème

Notre première tâche dans cet article sera de montrer que dans une reparamétrisation conforme appropriée, l'équation de Willmore contrainte peut également être écrite sous forme divergence par rapport à des coordonnées locales plates.

• L'auteur commence par considérer une immersion conforme Φ : D² → R^m qui est régulière sur le disque épointé D² \ {0} et dégénère à l'origine. En utilisant des résultats de Huber et Müller-Šverák, on peut construire une telle paramétrisation conforme où la métrique induite s'écrit g_ij = e^{2λ} δ_ij. Le comportement asymptotique près de l'origine est caractérisé par un entier θ₀ ≥ 1 tel que |Φ(x)| ≃ |x|^{θ₀} et |∇Φ(x)| ≃ |x|^{θ₀−1}. L'entier θ₀ est la densité du courant Φ∗[D²] au point image 0.
• L'équation de Willmore contrainte est réécrite dans ce cadre conforme en utilisant des coordonnées complexes (z, \bar{z}). En introduisant la fonction anti-holomorphe f = q₁₁ + i q₁₂ liée au multiplicateur de Lagrange q, l'équation prend la forme conservative cruciale : ℜ[ ∂_z ( ∂_{\bar{z}} H - 3 π_n ∂_{\bar{z}} H + i ⋆(∂_{\bar{z}} n ∧ H) - e^{-λ} f e_z ) ] = 0. Cette reformulation en forme divergence est le point de départ de l'analyse approfondie de la régularité.

Résultats préliminaires de régularité et estimations

La fonction δ(r) := r sup_{|x|=r} |∇n(x)| satisfait lim_{r↘0} δ(r) = 0 et ∫_0^1 δ²(r) dr/r < ∞.

• Un résultat technique clé (Lemme II.1) établit le comportement contrôlé de la norme du gradient de l'application de Gauss n près de la singularité. Ceci est démontré en utilisant une estimation d'ε-régularité adaptée (théorème de Kuwert-Schätzle) et le comportement asymptotique de la métrique conforme. Cette estimation permet de contrôler les termes non linéaires dans les équations et est fondamentale pour les développements ultérieurs.
• En utilisant cette estimation et l'équation reformulée, l'auteur démontre que la fonction L, définie à partir d'un potentiel pour un champ de vecteurs conservatif, satisfait |x|^{θ₀} ∇L ∈ L²(D²). Via une inégalité de Hardy-Sobolev, on en déduit que L · ∇Φ et L ∧ ∇Φ sont dans L². Ces propriétés d'intégrabilité permettent de définir des fonctions S et R dans W¹,²(D²) qui satisfont un système elliptique uniforme, appelé système conservatif conforme de Willmore, indépendant de la codimension.