Analysis of Constrained Willmore Surfaces%0A Yann Bernard.pdf

Analyse de la régularité des immersions de Willmore contraintes

Introduction et cadre général

Nous étudions la régularité des immersions de Willmore contraintes dans R^m≥3 localement autour des points 'réguliers' et autour des points de branchement, où la nature immersive de l'application dégénère.

• Ce travail de Yann Bernard, publié en 2012, se concentre sur l'analyse de la régularité locale des immersions de Willmore contraintes. Ces surfaces sont des points critiques de l'énergie de Willmore W(Φ) = ∫_Σ |H|² dvol_g, contrainte à une classe conforme fixée. L'équation d'Euler-Lagrange correspondante, l'équation de Willmore contrainte, intègre un multiplicateur de Lagrange q (un tenseur symétrique, sans trace et transverse) et s'écrit : Δ^⊥ H + 2 ℜ((H·H₀*) H₀) = e^{-2λ} ℜ(H₀ f), où f est une fonction anti-holomorphe liée à q. L'étude inclut les cas particuliers des surfaces de Willmore (f≡0) et des surfaces à courbure moyenne parallèle.
• L'objectif principal est de développer des développements asymptotiques locaux pour l'immersion, ses dérivées premières et secondes, autour de singularités appelées points de branchement. Un point de branchement est un point où l'application Φ dégénère dans le sens où sa différentielle dΦ s'annule, bien que Φ elle-même reste bien définie. Le travail vise à établir des conditions explicites de "supprimabilité" (removability) assurant que l'immersion est lisse à travers le point singulier. L'analyse ne suppose aucune restriction sur la codimension et permet la présence de ces points de branchement.

Reformulation analytique du problème

Notre première tâche dans cet article sera de montrer que dans une reparamétrisation conforme appropriée, l'équation de Willmore contrainte peut également être écrite sous forme divergence par rapport à des coordonnées locales plates.

• Pour analyser l'équation, l'auteur procède à une reparamétrisation conforme de l'immersion Φ, garantissant que la métrique induite g est conforme à la métrique euclidienne plate sur le disque unité D². Dans cette paramétrisation, des quantités géométriques clés comme la courbure moyenne H et la seconde forme fondamentale I sont exprimées à l'aide d'un paramètre conforme λ, avec |∂Φ| = e^λ. Le multiplicateur de Lagrange q donne lieu à une fonction anti-holomorphe f = q₁₁ + i q₁₂.
• Grâce à des identités géométriques et à l'anti-holomorphie de f, l'équation de Willmore contrainte est réécrite sous une forme divergence analytiquement plus maniable. Cette reformulation cruciale est : div [ ∇H - 3 π_n ∇H + ⋆(∇^⊥ n ∧ H) - e^{-2λ} M_f ∇^⊥ Φ ] = 0, où π_n est la projection sur l'espace normal, ⋆ est l'opérateur de Hodge, et M_f est une matrice 2x2 construite à partir de f. Cette forme permet de définir un premier résidu vectoriel β₀ via une intégrale de circulation sur un cercle.

Résultats préliminaires de régularité et comportement asymptotique

Une immersion conforme de D² \ {0} dans R^m telle que ∇Φ et l'application de Gauss n s'étendent tous deux à des applications dans W^{1,2}(D²) a un comportement distinctif près de la singularité ponctuelle située à l'origine.

• La Proposition I.1 établit la régularité initiale de l'application de Gauss n autour d'un point de branchement à l'origine. Sous les hypothèses de l'immersion, on montre que ∇n ∈ L^{2,∞}(D²) (espace de Lorentz) et donc appartient à BMO. De plus, on a l'estimation ponctuelle |∇n(x)| ≲ |x|^{-ε} pour tout ε > 0. Si l'ordre de dégénérescence θ₀ (défini par |Φ(x)| ≃ |x|^{θ₀}) est au moins 2, alors ∇n est en fait borné (∈ L^∞).
• La Proposition I.2 décrit le comportement asymptotique de l'immersion Φ elle-même près de l'origine. Il existe un vecteur constant A = A₁ + i A₂ ∈ C^m tel que Φ(x) = ℜ(A x^{θ₀}) + ξ(x), où le reste ξ satisfait ξ(x) = O(|x|^{θ₀−ε}) et ∇ξ(x) = O(|x|^{θ₀−1−ε}). Le plan engendré par A₁ et A₂ est tangent à la surface à l'origine. L'entier θ₀ est la densité du courant Φ*[D²] au point image 0.

Développements asymptotiques locaux et résidus

L'importance de γ ne peut être surestimée : elle contrôle le comportement singulier dominant de la courbure moyenne à l'origine.

• La Proposition I.3 fournit un développement asymptotique détaillé pour le vecteur courbure moyenne H près de la singularité. En notant f = a_μ z̄^μ + f₀ le développement de la fonction multiplicateur, on définit un résidu modifié γ₀ = β₀ + (1/2) δ_{θ₀, μ+2} e^{-2u(0)} θ₀ ℜ(a_μ A). Localement, on a H + γ₀ log |z| = ℜ(E) + O(|z|^{1−a−ε}), où E est une fonction méromorphe avec un pôle à l'origine d'ordre a ∈ {max(0, θ₀−μ−2), ..., θ₀−1}.
• Le Théorème I.1 est le résultat central. Il introduit un second résidu γ, défini à partir des fonctions méromorphes E_j composantes de E, par γ_j = -(1/(2iπ)) ∫_{∂D²} d log E_j ∈ N. L'entier a = max γ_j contrôle la régularité. On obtient alors un développement asymptotique complet pour l'immersion : Φ = ℜ( A z^{θ₀} + Σ_{j=1}^{θ₀−a} B_j z^{θ₀+j} + C_{θ₀−a} |z|^{2θ₀} z^{-a} ) - C |z|^{2θ₀} (log |z|/θ₀ − 1) + ξ, avec des constantes explicites C_{θ₀−a} et C dépendant de γ₀ et de E_a. La régularité de Φ est précisée : elle appartient à ∩_{p<∞} W^{θ₀+2−a, p} pour θ₀ ≥ 2.

Régularité améliorée lorsque les résidus s'annulent

Au bout opposé du spectre, le meilleur scénario se produit lorsque a = 0. Ce n'est cependant pas toujours possible à réaliser : il est nécessaire que la fonction multiplicateur f décroisse suffisamment vite à l'origine.

• Le Théorème I.2 détaille les propriétés de régularité améliorée lorsque le résidu modifié γ₀ et le second résidu γ sont tous deux nuls. Deux cas sont distingués. Si θ₀ < μ + 2 (i.e., f est plus régulier que nécessaire), alors l'immersion est lisse (C^∞) à travers le point de branchement. Si θ₀ = μ + 2, la régularité est légèrement inférieure : le vecteur courbure moyenne H ∈ W^{2, (2,∞)} ⊂ C^{0,α} pour tout α<1, l'immersion Φ ∈ W^{4, (2,∞)} ∩ (∩_{p<∞} W^{θ₀+2, p}) et l'application de Gauss n ∈ W^{3, (2,∞)} ∩ (∩_{p<∞} W^{θ₀+1, p}). En particulier, Φ ∈ C^{θ₀+1,α} et n ∈ C^{θ₀,α}.
• Le Corollaire I.1 applique ces résultats au cas d'un point régulier (pas de branchement, θ₀=1). Si la fonction multiplicateur f est régulière à l'origine (μ ≥ 0), l'immersion est lisse. Si f est singulière (μ = -1), alors Φ ∈ C^{2,α}(D²) pour tout α ∈ [0,1). Cela montre l'impact du multiplicateur de Lagrange sur la régularité locale, même en l'absence de branchement.

Application aux sous-classes importantes

Les surfaces à courbure moyenne parallèle (satisfaisant π_n dH ≡ 0) sont des exemples de surfaces de Willmore contraintes.

• Le Corollaire I.2 résume les résultats pour deux sous-classes importantes. Pour les immersions de Willmore (f ≡ 0), l'immersion est lisse à travers les points réguliers. Elle est lisse à travers un point de branchement si les deux résidus β₀ et γ s'annulent. Pour les immersions à courbure moyenne parallèle (où f = 2 e^{2λ} H·H₀*), on montre que les résidus associés s'annulent toujours et que μ ≥ θ₀ − 1. Par conséquent, le Théorème I.2 garantit que ces immersions sont lisses (C^∞) à travers les points réguliers et les points de branchement.
• L'analyse révèle ainsi une hiérarchie de régularité : les surfaces à courbure moyenne parallèle jouissent de la meilleure régularité (toujours lisses), les surfaces de Willmore sont lisses si des conditions de résidu sont remplies, et les surfaces de Willmore contraintes générales peuvent présenter une régularité finie (C^{k,α}) dépendant de l'ordre de la singularité θ₀ et du comportement du multiplicateur f à l'origine.

Étapes clés de la preuve et techniques analytiques

Le système conservatif conforme de Willmore (II.20) est non seulement indépendant de la codimension, mais il présente en outre deux avantages fondamentaux. Analytiquement, (II.20) est uniformément elliptique.

• Une étape cruciale de la preuve (Section II.1) est la dérivation d'un "système conservatif conforme de Willmore" pour des fonctions auxiliaires S et R. Ce système, obtenu à partir des équations de divergence et de l'application du lemme de Poincaré, s'écrit : -ΔS = ∇(⋆n)·∇^⊥R + div((⋆n)·∇G) et -ΔR = ∇(⋆n)•∇^⊥R - ∇(⋆n)·∇^⊥S + div((⋆n)•∇G + ⋆n ∇g). Sa structure uniformément elliptique et en divergence est essentielle pour appliquer des arguments d'"intégration par compensation" et surmonter la dégénérescence de l'opérateur Δ^⊥ dans l'équation originale.
• La preuve repose fortement sur des estimations de régularité ε (Lemma II.1) et sur l'utilisation d'inégalités de type Hardy-Sobolev. Le processus itératif décrit dans la Section II.2 permet de passer d'une estimation critique (W^{1,2}) à une estimation sous-critique (W^{1,p} avec p>2) pour les gradients de S et R, puis d'améliorer progressivement la régularité de l'application de Gauss n et de l'immersion Φ. L'analyse fine du terme source q, qui combine H, H₀ et le terme lié au multiplicateur J, est centrale pour établir les développements asymptotiques.

Questions ouvertes et perspectives

La première question ouverte posée par nos résultats est celle de l'optimalité. Dans le cas des immersions de Willmore, il a été fermement établi dans [BR3] que les résultats sont optimaux. Ceci est beaucoup moins clair lorsque la fonction multiplicateur n'est pas nulle.

• L'auteur soulève deux questions ouvertes principales. La première concerne l'optimalité (sharpness) des conditions de régularité obtenues pour les surfaces de Willmore contraintes générales. Alors que pour les surfaces de Willmore pures (f≡0), des contre-exemples montrent que les résultats sont optimaux, le manque d'exemples explicites non triviaux avec f ≠ 0 rend cette question difficile.
• La seconde question, plus difficile analytiquement, porte sur l'étude du comportement local lorsque la fonction multiplicateur f dégénère à l'origine avec un ordre strictement supérieur à 1 (c'est-à-dire lorsque f n'est pas intégrable). L'auteur conjecture que si f a un pôle d'ordre strictement supérieur à 3, alors l'équation de Willmore contrainte ne peut avoir de solution Φ ∈ W^{2,2}. Le cas d'un pôle d'ordre exactement 2 semble le plus problématique. L'obstacle principal est que le système conservatif (II.20) ne peut être étendu à travers l'origine lorsque f n'est pas intégrable, empêchant la réduction à un problème sous-critique.