Analysis of Constrained Willmore Surfaces%0A Yann Bernard

Analyse de la régularité des immersions de Willmore contraintes

Introduction et cadre général

Nous étudions la régularité des immersions de Willmore contraintes dans R^m≥3 localement autour des points 'réguliers' et autour des points de branchement, où la nature immersive de l'application dégénère.

• Ce travail de Yann Bernard, publié en 2012, se concentre sur l'analyse de la régularité locale des immersions de Willmore contraintes. Ces surfaces sont des points critiques de l'énergie de Willmore W(Φ) = ∫_Σ |H|² dvol_g, contrainte à une classe conforme fixée. L'équation d'Euler-Lagrange correspondante, l'équation de Willmore contrainte, intègre un multiplicateur de Lagrange q (un tenseur symétrique, sans trace et transverse) et s'écrit : Δ^⊥ H + 2 ℜ((H·H₀*) H₀) = e^{-2λ} ℜ(H₀ f), où f est une fonction anti-holomorphe liée à q. L'étude inclut les cas particuliers des surfaces de Willmore (f≡0) et des surfaces à courbure moyenne parallèle.
• L'objectif principal est de développer des développements asymptotiques locaux pour l'immersion, ses dérivées premières et secondes, autour de singularités appelées points de branchement. Un point de branchement est un point où l'application Φ dégénère dans le sens où sa différentielle dΦ s'annule, bien que Φ elle-même reste bien définie. Le travail vise à établir des conditions explicites de "supprimabilité" (removability) assurant que l'immersion est lisse à travers le point singulier. L'analyse ne suppose aucune restriction sur la codimension et permet la présence de ces points de branchement.

Reformulation analytique du problème

Notre première tâche dans cet article sera de montrer que dans une reparamétrisation conforme appropriée, l'équation de Willmore contrainte peut également être écrite sous forme divergence par rapport à des coordonnées locales plates.

• Pour analyser l'équation, l'auteur procède à une reparamétrisation conforme de l'immersion Φ, garantissant que la métrique induite g est conforme à la métrique euclidienne plate sur le disque unité D². Dans cette paramétrisation, des quantités géométriques clés comme la courbure moyenne H et la seconde forme fondamentale I sont exprimées à l'aide d'un paramètre conforme λ, avec |∂Φ| = e^λ. Le multiplicateur de Lagrange q donne lieu à une fonction anti-holomorphe f = q₁₁ + i q₁₂.
• Grâce à des identités géométriques et à l'anti-holomorphie de f, l'équation de Willmore contrainte est réécrite sous une forme divergence analytiquement plus maniable. Cette reformulation cruciale est : div [ ∇H - 3 π_n ∇H + ⋆(∇^⊥ n ∧ H) - e^{-2λ} M_f ∇^⊥ Φ ] = 0, où π_n est la projection sur l'espace normal, ⋆ est l'opérateur de Hodge, et M_f est une matrice 2x2 construite à partir de f. Cette forme permet de définir un premier résidu vectoriel β₀ via une intégrale de circulation sur un cercle.

Résultats préliminaires de régularité et comportement asymptotique

Une immersion conforme de D² \ {0} dans R^m telle que ∇Φ et l'application de Gauss n s'étendent tous deux à des applications dans W^{1,2}(D²) a un comportement distinctif près de la singularité ponctuelle située à l'origine.

• La Proposition I.1 établit la régularité initiale de l'application de Gauss n autour d'un point de branchement à l'origine. Sous les hypothèses de l'immersion, on montre que ∇n ∈ L^{2,∞}(D²) (espace de Lorentz) et donc appartient à BMO. De plus, on a l'estimation ponctuelle |∇n(x)| ≲ |x|^{-ε} pour tout ε > 0. Si l'ordre de dégénérescence θ₀ (défini par |Φ(x)| ≃ |x|^{θ₀}) est au moins 2, alors ∇n est en fait borné (∈ L^∞).
• La Proposition I.2 décrit le comportement asymptotique de l'immersion Φ elle-même près de l'origine. Il existe un vecteur constant A = A₁ + i A₂ ∈ C^m tel que Φ(x) = ℜ(A x^{θ₀}) + ξ(x), où le reste ξ satisfait ξ(x) = O(|x|^{θ₀−ε}) et ∇ξ(x) = O(|x|^{θ₀−1−ε}). Le plan engendré par A₁ et A₂ est tangent à la surface à l'origine. L'entier θ₀ est la densité du courant Φ*[D²] au point image 0.